Парадокс Бертрана: три правильных ответа на один вопрос

Даниил Фенелонов 29 апреля 2026 г. 7 минут чтения

Содержание

Всем привет! 👋 В прошлой задаче про две точки на квадрате мы аккуратно делили пространство исходов на случаи и получили красивый ответ через $\pi$ . Сегодня разберём задачу, которая выглядит так же безобидно, но на самом деле ломает наивное представление о слове «случайно». Эта задача — парадокс Бертрана, и она знаменита тем, что у неё три разных правильных ответа на один и тот же вопрос. Не «по-разному решают», не «спорный». Все три ответа корректны, и каждый получается строгим выводом из определения. Дело в том, что само определение задачи неоднозначно, и мы это покажем.

Условие

В круге случайно выбирается хорда. Какова вероятность того, что её длина больше стороны вписанного в этот круг равностороннего треугольника?

Если радиус круга равен $r$ , то сторона вписанного равностороннего треугольника равна $r\sqrt{3}$ . Это базовая геометрия — длина хорды, стягивающей дугу в $120°$ . Запомним эту длину как пороговую: всё, что длиннее, — «прошло»; всё, что короче, — «не прошло».

Вопрос звучит чётко: какова вероятность того, что случайная хорда длиннее $r\sqrt{3}$ ? Сейчас мы покажем, что у этого вопроса три разных правильных ответа, и они отличаются в полтора раза.

Способ 1: случайные концы

Самый прямой способ выбрать хорду — случайно поставить две точки на окружности и соединить их. Это интуитивно «равномерно по концам».

Каждый конец хорды задаётся углом на окружности. Выбираем два независимых угла $\theta_1$ и $\theta_2$ , равномерно распределённых на $[0, 2\pi)$ . По симметрии можно зафиксировать один конец на нуле и смотреть только на второй угол $\theta$ , равномерно распределённый на $[0, 2\pi)$ .

Длина хорды, стягивающей дугу $\theta$ , равна $2r\sin(\theta/2)$ . Условие «хорда длиннее стороны треугольника»:

2r \sin(\theta/2) > r\sqrt{3} \quad \Longleftrightarrow \quad \sin(\theta/2) > \frac{\sqrt{3}}{2}

Это выполняется при $\theta/2 \in (\pi/3, 2\pi/3)$ , то есть $\theta \in (2\pi/3, 4\pi/3)$ . Длина этого интервала — $2\pi/3$ , общая длина $2\pi$ .

P_1 = \frac{2\pi/3}{2\pi} = \frac{1}{3}

Геометрическая интуиция: зафиксируем один конец хорды и впишем равносторонний треугольник одной вершиной в эту точку. Хорда длиннее стороны треугольника тогда и только тогда, когда её второй конец попадает на дальнюю дугу — ту, что напротив. Длина дальней дуги — треть окружности.

Ответ способа 1: $1/3$ .

Способ 2: случайный радиус

Другой способ. Выберем случайный радиус (то есть случайное направление из центра), а потом случайно выберем на нём точку — это будет середина хорды, перпендикулярной радиусу.

По симметрии направление радиуса не важно — все направления эквивалентны. Зафиксируем радиус и параметризуем точку на нём расстоянием $d$ от центра, равномерно распределённым на $[0, r]$ .

Хорда, проходящая через точку на расстоянии $d$ от центра перпендикулярно радиусу, имеет длину:

L(d) = 2\sqrt{r^2 - d^2}

Условие «длиннее стороны треугольника»:

2\sqrt{r^2 - d^2} > r\sqrt{3} \quad \Longleftrightarrow \quad d < \frac{r}{2}

Доля «хороших» точек на радиусе:

P_2 = \frac{r/2}{r} = \frac{1}{2}

Ответ способа 2: $1/2$ .

Способ 3: случайная середина

Третий способ. Выберем случайную точку внутри круга (равномерно по площади) — это будет середина хорды. Сама хорда определяется однозначно: через точку проводим перпендикуляр к радиусу, идущему из центра в эту точку.

Из формулы выше: хорда длиннее $r\sqrt{3}$ тогда и только тогда, когда её середина находится на расстоянии меньше $r/2$ от центра. То есть середина должна попасть в малый круг радиуса $r/2$ .

Вероятность для равномерного распределения на плоскости — отношение площадей:

P_3 = \frac{\pi (r/2)^2}{\pi r^2} = \frac{1}{4}

Ответ способа 3: $1/4$ .

Так какой ответ правильный?

Все три. Каждый из них является корректным ответом на свою задачу. Парадокс не в математике, а в формулировке: фраза «случайно выбирается хорда» не определяет распределение хорд однозначно. Мы выбрали три разных способа, и получили три разных распределения.

Это и есть главный урок: «случайно» — это не свойство объекта, это свойство процедуры. Не существует «универсального равновероятного распределения хорд». Есть три (и больше) разумных распределений, каждое из которых соответствует своему физическому процессу:

Способ 1 соответствует тому, что мы выбираем хорду по двум случайным точкам на границе. Так бы получалось, если бы мы кидали два дротика на обод колеса.
Способ 2 соответствует тому, что мы выбираем направление и потом точку на радиусе. Так бы получалось, если бы линейка случайно скользила по диаметру.
Способ 3 соответствует тому, что мы выбираем точку внутри круга и строим через неё хорду. Так бы получалось, если бы хорды задавались случайной точкой пересечения с какой-то решёткой.

Все три процедуры одинаково «случайные», но они разные. Вопрос «какая вероятность правильная?» бессмыслен без указания процедуры.

Визуальная проверка: три плотности середин

Чтобы прочувствовать различие между методами, посмотрим, как распределены середины хорд в каждом из трёх случаев.

Видно невооружённым глазом: распределения середин разные. А значит, и хорды, которые из этих середин получаются, тоже распределены по-разному. Один и тот же геометрический объект выбирается тремя разными процедурами, и в результате имеет три разных закона распределения.

Что говорит математика

Современная теория вероятностей решает парадокс Бертрана так: вероятностное пространство нужно задавать явно. Нет «случайной хорды» как объекта самого по себе, есть случайная хорда относительно конкретной меры на множестве хорд. Три способа выше задают три разные меры, и каждая мера даёт свою вероятность.

Эдвин Джейнс в 1973 году предложил выбирать «правильную» меру через принцип инвариантности: распределение должно быть инвариантным относительно естественных преобразований (сдвига, поворота, изменения масштаба). При таком требовании остаётся только способ 2 с ответом $1/2$ . Это интересный аргумент, но он работает только в этом конкретном круге, для других задач инвариантность даёт другие распределения, и она не универсальна.

Что забрать с собой

Парадокс Бертрана не задача с подвохом, а тренинг строгости. Он учит трём вещам:

Слово «случайно» само по себе не имеет смысла. Всегда нужно указывать процедуру: «равномерно по углу», «равномерно по площади», «равномерно по чему-то ещё». Без этого задача недоопределена.

Геометрическая интуиция обманчива. Три способа выше выглядят одинаково «справедливыми», но дают ответы 1/3, 1/2 и 1/4. Это не опечатка и не ловушка, это следствие того, что разные процедуры дают разные распределения.

Когда задача допускает несколько ответов, это сигнал, что мы что-то не доопределили. В случае Бертрана мы не сказали, как именно выбирается хорда. После того как мы это уточняем, задача становится однозначной.

Поделиться в Telegram