Вероятность, что отрезок длиннее стороны квадрата

Даниил Фенелонов 28 апреля 2026 г. 5 минут чтения

Содержание

Всем привет! 👋 Сегодня решим задачу, которую дали подписчику на собеседовании в голландский хэдж-фонд в качестве разминочной. Большинство людей при первом взгляде на задачу теряется — кажется, что нужно интегрировать по всему периметру. Но если разбить пространство исходов на три качественно разных случая, задача распадается на три простых, и в финале сама собой возникает площадь четверти круга. Также в этой статье я в первый раз воспользовался библиотекой manim, чтобы визуализировать сюжет, так что жду вашего фидбека, нравится ли такой формат. Если понравится, то постараюсь визуализировать что-то посложнее.

Условие

На сторонах квадрата случайно (равномерно) выбираются две точки $A$ и $B$ . Какова вероятность того, что $|AB|$ больше стороны квадрата?

Идея решения

Зафиксируем сторону квадрата равной $1$ , это ничего не меняет, задача про отношение длин. У точек $A$ и $B$ есть три качественно разные ситуации в зависимости от того, на каких сторонах они оказались:

Обе точки на одной стороне — отрезок целиком лежит на этой стороне.
Точки на противоположных сторонах — отрезок «прошивает» квадрат насквозь.
Точки на смежных сторонах — отрезок упирается в две соседние стороны под углом.

В каждом случае ответ на вопрос «больше ли $|AB|$ стороны?» свой. Дальше посчитаем условные вероятности и сложим их с весами.

Считаем веса. Каждая из двух точек независимо «попадает» на одну из четырёх сторон. Всего $4 \cdot 4 = 16$ равновероятных комбинаций сторон:

одна сторона — $4$ случая (по числу сторон) → вес $4/16 = 1/4$
противоположные стороны — $4$ случая → вес $1/4$
смежные стороны — $8$ случаев → вес $1/2$

Запомним эти числа, они понадобятся в самом конце.

Случай 1: одна сторона

Если обе точки лежат на одной стороне длины $1$ , то отрезок между ними — это часть этой же стороны. Его длина не превышает длину носителя, то есть:

|AB| \leq 1 \quad \text{всегда}

Условие $|AB| > 1$ не выполняется никогда:

P(|AB| > 1 \mid \text{одна сторона}) = 0

Случай 2: противоположные стороны

Теперь точки на параллельных сторонах, например, $A$ на нижней, $B$ на верхней.

Какое минимальное возможное $|AB|$ ? Очевидно, когда $A$ и $B$ лежат строго друг под другом, тогда $|AB| = 1$ . В любой другой конфигурации точки смещены друг относительно друга по горизонтали, и отрезок становится гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами $\Delta x$ и $1$ :

|AB| = \sqrt{(\Delta x)^2 + 1^2} \geq 1

Знак равенства достигается только когда $\Delta x = 0$ , а вероятность попасть точно в эту конфигурацию равна нулю, точек на отрезке несчётно много, а нас интересует ровно одна. То есть $|AB| > 1$ почти всегда:

P(|AB| > 1 \mid \text{противоположные}) = 1

Зеркально первому случаю: там условие не выполнялось никогда, здесь — выполняется всегда.

Случай 3: смежные стороны

Здесь начинается математика. Точка $A$ на нижней стороне, точка $B$ на левой (или любая другая пара смежных сторон, по симметрии). Введём координаты: $A = (x, 0)$ , $B = (0, y)$ , где $x$ и $y$ равномерно распределены на $[0, 1]$ .

По теореме Пифагора:

|AB| = \sqrt{x^2 + y^2}

Условие задачи $|AB| > 1$ превращается в условие на пару $(x, y)$ :

x^2 + y^2 > 1

Что это геометрически? Точка $(x, y)$ лежит в единичном квадрате $[0,1] \times [0,1]$ . Условие $x^2 + y^2 > 1$ означает, что эта точка находится снаружи четверти круга радиуса $1$ с центром в начале координат.

Вероятность для равномерного распределения представляет собой просто отношение площадей. Площадь четверти круга радиуса $1$ равна $\pi/4$ , а площадь самого квадрата равна $1$ . Значит, площадь нужной нам области:

P(|AB| > 1 \mid \text{смежные}) = 1 - \frac{\pi}{4} \approx 0.215

Именно эту площадь и заметает анимация в гифке: рыжая область — это все пары $(x, y)$ , для которых отрезок длиннее стороны квадрата.

Складываем три случая

У нас есть три условные вероятности и три веса. По формуле полной вероятности:

P = \frac{1}{4} \cdot 0 \;+\; \frac{1}{4} \cdot 1 \;+\; \frac{1}{2} \cdot \left(1 - \frac{\pi}{4}\right)

Раскрываем последнее слагаемое:

P = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{\pi}{8} = \frac{3}{4} - \frac{\pi}{8}

Приводим к общему знаменателю:

P = \frac{6}{8} - \frac{\pi}{8} = \frac{6 - \pi}{8}

Численно: $(6 - 3.1416)/8 \approx 0.3573$ .

Ответ содержит $\pi$ — и это не случайность. $\pi$ появилось из площади четверти круга в случае смежных сторон. Это типичная история в задачах на геометрическую вероятность: как только в условии всплывает евклидово расстояние и квадратичная форма, $\pi$ почти наверняка вылезет в ответе.

Связь с методом Монте-Карло

У этой задачи есть забавный практический выход. Сравните её с классической задачей Бюффона про иголку (можно разобрать в следующем сюжете) — там тоже $\pi$ в ответе, и тоже из-за того, что мы интегрируем что-то связанное с расстоянием по равномерному распределению. Эти задачи вытекают из древнего способа оценивать $\pi$ методом Монте-Карло.

В нашем случае: бросаем $N$ пар случайных точек на стороны квадрата, считаем долю «длинных» отрезков $\hat{p}$ . Тогда:

\hat{\pi} = 6 - 8 \hat{p}

Поделиться в Telegram